Zunächst musst Du am Besten vor dem Einschalten des Mac dafür sorgen, dass er nicht ins Internet kommt. Also am Besten WLAN Router ausschalten.
Danach den Mac einschalten und beim entsprechenden Postfach die Zugangsdaten entfernen:
- Mail öffnen
- Menü: Mail - Einstellungen
- Reiter Accounts
- entsprechendes Postfach auswählen und unter Servereinstellungen die Zugangsdaten entfernen.
Nun kannst Du den Mac wieder online nehmen.
Ich würde die entsprechenden Mails exportieren. Anschließend kannst Du das Postfach wieder aktivieren, indem Du die Zugangsdaten wieder einfügst. Nun wartest Du die Synchronisation ab. Es sollten nun auch auf dem Mac alle e-Mails verschwunden sein. Anschließend importierst Du die e-Mails wieder in das Postfach.
Importieren oder Exportieren von Postfächern in Mail auf dem Mac - Apple Support (DE)